Nullstellen-Rechner

Nullstellen aus Koeffizienten

Der Rechner löst $ax^2+bx+c=0$ oder im linearen Modus $bx+c=0$ über den reellen Zahlen. Geben Sie die Koeffizienten einzeln ein. Es werden nur lineare und quadratische Funktionen unterstützt, keine allgemeinen Funktionsausdrücke oder höheren Polynomgrade.

Die Koeffizienten dürfen bis zum Betrag 1.000.000 reichen und höchstens sechs Nachkommastellen haben. In diesen Zahlenfeldern gelten Dezimalkomma und deutsche Tausenderpunkte. Ein gruppierter Punkt wird als Tausendertrennung verstanden.

Quadratische Formel und Diskriminante

a, b und c sind die eingegebenen Koeffizienten; x ist die gesuchte Nullstelle. Für $a\ne0$ lautet die quadratische Formel mit Diskriminante D:

$$D=b^2-4ac\qquad x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt D}{2a}$$

Bei $D>0$ gibt es zwei verschiedene reelle Nullstellen, bei $D=0$ eine doppelte und bei $D<0$ keine reellen Nullstellen. Komplexe Lösungen werden nicht dargestellt.

Die Diskriminante wird aus den eingegebenen Dezimalzahlen exakt berechnet; ihr Vorzeichen wird nicht über eine Fehlertoleranz verändert. Für sehr unterschiedlich große Wurzeln wird die algebraisch äquivalente q-Formel verwendet:

$$q=-\frac{b+s\sqrt D}{2}\qquad x_1=\frac qa,\quad x_2=\frac cq$$

Dabei ist $s=-1$ für $b<0$, sonst $s=1$ auch bei $b=0$. Die Quotientenform setzt $q\ne0$ voraus. Bei einer doppelten Nullstelle wird unmittelbar $x=-\frac b{2a}$ verwendet. Ist die Wurzel rational, erscheinen exakte Brüche; sonst stehen ausdrücklich gekennzeichnete Näherungen mit bis zwölf signifikanten Stellen.

Beispiele und Sonderfälle

x² − 3x + 2 = 0 hat die Nullstellen 1 und 2. x² + 2x + 1 hat −1 als doppelte Nullstelle. x² + 1 hat keine reelle Nullstelle. Bei x² − 2 sind es näherungsweise −1,41421356237 und 1,41421356237.

Bei a = 0 wird korrekt zum linearen Fall gewechselt: 2x − 4 = 0 hat die Lösung 2. Sind a und b null, gilt bei c = 0 die Gleichung für alle reellen Zahlen. Bei c ≠ 0 gibt es keine Lösung.

Weitere Rechner und Quelle

Für Divisionsschritte nutzen Sie die Polynomdivision, für polynomiale Stammfunktionen den Integralrechner. Grundlage ist die quadratische Formel bei OpenStax, gelesen am 16.10.2026; die stabile q-Formel ist eine äquivalente algebraische Umformung.

Häufige Fragen

Warum kann das Ergebnis 'keine reelle Nullstelle' lauten?

Bei einer quadratischen Gleichung bedeutet eine negative Diskriminante, dass im Bereich der reellen Zahlen keine Lösung angezeigt werden kann.

Was geschieht, wenn der Koeffizient vor x² null ist?

Der Rechner wechselt zum linearen beziehungsweise konstanten Sonderfall. Eine quadratische Formel mit Division durch null wird dann nicht angewandt.

Worin liegt der Unterschied zwischen einer doppelten und zwei verschiedenen Nullstellen?

Bei Diskriminante null fallen beide quadratischen Lösungswerte zusammen; bei positiver Diskriminante entstehen zwei verschiedene reelle Werte.