Integralrechner für Polynome

Stammfunktionen für Polynome

Dieser Integralrechner unterstützt ausmultiplizierte Polynome in x bis Grad 10. Er liefert eine exakte Stammfunktion mit beliebiger reeller Integrationskonstante C. Optional berechnet er ein bestimmtes Integral über zwei Grenzen. Er ist kein allgemeines symbolisches Rechensystem.

Für einen konstanten Koeffizienten k und einen ganzzahligen Exponenten n von 0 bis 10 lautet die Potenzregel:

$$\int kx^n\,\mathrm{d}x=\frac{k}{n+1}x^{n+1}+C$$

C ist eine beliebige reelle Integrationskonstante. Wegen der Linearität wird jeder Term einzeln integriert. Beispiel:

$$\int(3x^2-2x+1)\,\mathrm{d}x=x^3-x^2+x+C$$

Das Nullpolynom hat die Stammfunktionen C; konstante Polynome sind ebenfalls erlaubt.

Eingabesprache und Grenzen

Verwenden Sie Summen wie 3x^2 - 2x + 1 oder 0,5*x^2. x/X, Vorzeichen und optional * oder · vor x sind erlaubt. Im Polynomfeld bedeuten Punkt und Komma Dezimalstellen, keine Tausendertrennung. Koeffizienten je Term bis zum Betrag 1.000.000, höchstens sechs Nachkommastellen; maximal 30 Terme, 300 Zeichen und ganzzahlige Exponenten 0–10. Die Stammfunktion kann Grad 11 haben.

Nicht unterstützt werden Klammern, Bruchkoeffizienten als Eingabe, Produkte von Polynomen, sin, cos, exp, ln, 1/x, negative oder gebrochene Potenzen sowie andere Variablen. Solche Eingaben werden zurückgewiesen und nicht stillschweigend vereinfacht.

Bestimmtes Integral und Vorzeichen

Ist F eine Stammfunktion von f, ergibt der Hauptsatz:

$$\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x=F(b)-F(a)$$

Dabei sind a und b die Integrationsgrenzen. Für $f(x)=3x^2-2x+1$ auf [0; 2] ist das $6-0=6$. Für $f(x)=x^2$ auf [0; 1] ist das Ergebnis $\frac13$, zusätzlich näherungsweise 0,333333333333.

Integrationsgrenzen sind Zahlen bis zum Betrag 1.000.000 mit bis sechs Nachkommastellen. In diesen separaten Zahlenfeldern gelten deutsche Tausenderpunkte und Dezimalkomma. Gleiche Grenzen ergeben null, vertauschte Grenzen ändern das Vorzeichen. Das Integral von x auf [−1; 1] ist null, obwohl geometrische Flächenstücke vorhanden sind. Eine geometrische Gesamtfläche wird nicht automatisch berechnet.

Die Stammfunktion, Einsetzungen und Differenz werden exakt mit rationalen Zahlen ermittelt, ohne numerische Quadratur. Nur die zusätzliche Dezimalnäherung ist gerundet.

Weitere Rechner und Quellen

Zum Vorbereiten einer Division dient der Polynomdivision-Rechner; lineare/quadratische Nullstellen finden Sie im Nullstellen-Rechner. Grundlagen: OpenStax, Integration Formulas und Fundamental Theorem of Calculus, gelesen am 16.10.2026.

Häufige Fragen

Berechnet der Rechner auch Integrale von Sinus oder 1/x?

Nein. Er verarbeitet nur die dokumentierte Polynom-Eingabesprache bis zum angegebenen Grad. Andere Funktionen werden zurückgewiesen.

Worin unterscheiden sich Stammfunktion und bestimmtes Integral?

Die Stammfunktion enthält eine Integrationskonstante. Ein bestimmtes Integral ermittelt für vorgegebene Grenzen die Differenz der Stammfunktionswerte.

Warum kann ein bestimmtes Integral null sein, obwohl die Kurve Flächen einschließt?

Weil die Integration Beiträge unterhalb der Achse negativ zählt. Eine geometrische Gesamtfläche verlangt gegebenenfalls getrennte Teilintervalle.